Põhikooli lõpueksam 2023, ülesanne 7: Rombi ja täisnurkse kolmnurga pindala
On antud romb ja täisnurkne kolmnurk. Rombi diagonaalid on 10 cm ja 24 cm.Täisnurkse kolmnurga üks teravnurk on 23° ja selle vastaskaatet on 1,2 dm.
1.Arvuta rombi ümbermõõt ja pindala.
2.Arvuta täisnurkse kolmnurga pindala.
3.Põhjenda, kumma kujundi pindala on suurem, kas rombi või kolmnurga?
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2023, ülesanne 7
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: nelinurkade pindalad
Sristku¨lik=ab,Sro¨o¨pku¨lik=ah
Strapets=2a+b⋅h,Sromb=2d1d2
Valemikaart: täisnurkse kolmnurga seosed
sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba
a on vastaskaatet,b la¨hiskaatet,c hu¨potenuus
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Rombi diagonaalid on risti ja poolitavad teineteist, seega jaotavad nad rombi neljaks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks. Kolmnurga pindala jaoks on vaja teist kaatetit; vastas- ja lähiskaatetit seob tangens.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Poolita rombi diagonaalid
Esimeses küsimuses tuleb leida rombi ümbermõõt ja pindala. Ümbermõõdu jaoks on vaja rombi külge. Rombi diagonaalid on teineteisega risti ja poolitavad teineteist.
Leiame pikema diagonaali poole.
24:2=12 (cm)
Leiame lühema diagonaali poole.
10:2=5 (cm)
12 cm5 cm
Diagonaalid jaotavad rombi neljaks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks. Iga sellise kolmnurga kaatetid on diagonaalide pooled ja hüpotenuus on rombi külg.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia rombi külg Pythagorase teoreemiga
Rombi külg a on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Hüpotenuusi ruut on kaatetite ruutude summa.
a2=122+52=144+25=169
Võtame ruutjuure. Pikkus on positiivne.
a=169=13 (cm)
12 cm5 cm13 cm
Rombi külg on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, kaatetid on diagonaalide pooled. Et 132=169, siis 169=13.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Arvuta rombi ümbermõõt
Rombi kõik neli külge on võrdsed, seega ümbermõõt on neli külge.
P=4a
Asendame a=13 cm.
P=4⋅13=52 (cm)
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 1Samm 4: Arvuta rombi pindala
Kirjutame rombi pindala valemi: diagonaalide korrutis jagatud kahega.
Sromb=2d1d2
Asendame diagonaalid d1=10 cm ja d2=24 cm.
Sromb=210⋅24=2240=120(cm2)
13 cmS=120 cm2
Sama tulemuse saab nelja täisnurkse kolmnurga kaudu: igaühe pindala on 212⋅5=30 ja 4⋅30=120.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Vali seos teise kaateti leidmiseks
Teises küsimuses tuleb leida kolmnurga pindala. Selleks on vaja mõlemat kaatetit. Teada on nurk 23∘ ja selle vastaskaatet a=1,2 dm. Otsime lähiskaatetit b.
Vastas- ja lähiskaatetit seob tangens: nurga tangens on vastaskaateti ja lähiskaateti suhe.
tanα=ba
Asendame nurga α=23∘ ja vastaskaateti a=1,2 dm.
tan23∘=b1,2
13 cmS=120 cm223∘a=1,2 dmb
Siinust ja koosinust siin vaja ei ole, sest need seovad kaateti hüpotenuusiga, mida me ei tea ega otsi.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Leia teine kaatet
Tundmatu b on nimetajas. Korrutame võrrandi mõlemat poolt b-ga.
tan23∘=b1,2⋅b
Et b jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga tan23∘.
b⋅tan23∘=1,2:tan23∘
Saame lähiskaateti avaldise.
b=tan23∘1,2
Leiame taskuarvutiga tan23∘≈0,4245 ja jagame. Ümardame sajandikeni.
b≈0,42451,2≈2,83 (dm)
13 cmS=120 cm223∘a=1,2 dmb≈2,83 dm
Taskuarvuti peab olema kraadide režiimis. Sama tulemuse annab teine teravnurk 90∘−23∘=67∘: selle jaoks on b vastaskaatet, seega b=1,2⋅tan67∘.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 2Samm 7: Arvuta kolmnurga pindala
Kirjutame kolmnurga pindala valemi. Täisnurkses kolmnurgas on üks kaatet alus ja teine sellele tõmmatud kõrgus.
Skolmnurk=2a⋅b
Asendame kaatetid a=1,2 dm ja b≈2,83 dm ning ümardame kümnendikeni.
Skolmnurk≈21,2⋅2,83=23,396=1,698≈1,7(dm2)
13 cmS=120 cm223∘a=1,2 dmb≈2,83 dmS≈1,7 dm2
Kaatetid on teineteisega risti, seega sobivad nad aluseks ja kõrguseks. Pindala ühik on ruutdetsimeeter, sest mõlemad kaatetid on detsimeetrites.
8Samm 8Peidetud
8
Küsimus 3Samm 8: Teisenda pindalad samasse ühikusse ja võrdle
Kolmandas küsimuses tuleb põhjendada, kumma kujundi pindala on suurem. Rombi pindala on ruutsentimeetrites, kolmnurga oma ruutdetsimeetrites. Võrrelda saab ainult samades ühikutes.
Üks detsimeeter on 10 sentimeetrit, seega ruutdetsimeetris on 100 ruutsentimeetrit.
1 dm2=10 cm⋅10 cm=100 cm2
Teisendame kolmnurga pindala ruutsentimeetriteks.
Skolmnurk≈1,7 dm2=1,7⋅100 cm2=170 cm2
Võrdleme pindalasid. Kolmnurga pindala on suurem kui rombi pindala.
170 cm2>120 cm2
120 cm2≈170 cm2
Ruutdetsimeetris on 100 ruutsentimeetrit, mitte 10. Ka täpsem väärtus 1,696 dm2≈169,6 cm2 on suurem kui 120 cm2, seega ümardamine järeldust ei muuda.
VASTUS
1) Rombi ümbermõõt on 52 cm ja pindala 120 cm2. 2) Täisnurkse kolmnurga pindala on umbes 1,7 dm2. 3) Kolmnurga pindala on suurem, sest samades ühikutes on kolmnurga pindala umbes 170 cm2 ja rombi pindala 120 cm2.