GÜMNAASIUMTuletis ja selle rakendused

Ekstreemumülesanded

Ekstreemumülesandes otsitakse suurust, mis teeb mingi teise suuruse võimalikult suureks või väikeseks. Kõige raskem on koostada funktsioon; edasi on tavaline ekstreemumi leidmine.

Tähised

$x$: muutuv suurus, mille väärtust otsitakse
$f(x)$: uuritav suurus (pindala, ruumala, kulu vms) muutuja $x$ funktsioonina
$f'(x)$: funktsiooni $f$ tuletis
$x_0$: tuletise nullkoht (koht, kus võib olla ekstreemum)
$f''(x_0)$: teine tuletis (tuletise tuletis) kohal $x_0$
$\Rightarrow$: järelikult

Ekstreemumi tingimus

f'(x) = 0

Liigi kontroll

f''(x_0) < 0 \;\Rightarrow\; \text{maksimum}, \qquad f''(x_0) > 0 \;\Rightarrow\; \text{miinimum}

Harjutuspank

Harjuta seda teemat

30 ülesannet viiel raskusastmel, põhioskusest eksamitasemeni. Iga vastus on arvutiga kontrollitud.

Alusta harjutamist

Lahendamise skeem

1Tähista muutuv suurus tähega $x$ ja tee võimaluse korral joonis.
2Avalda uuritav suurus (pindala, ruumala, kulu vms) ühe muutuja funktsioonina.
3Kirjuta välja, millistes piirides saab $x$ muutuda.
4Leia tuletis ja selle nullkohad.
5Kontrolli, et leitud koht on tõesti maksimum või miinimum.
6Vasta ülesande küsimusele koos ühikutega.

Levinud vead

Kui funktsioonis on kaks muutujat, avalda üks neist lisatingimuse abil teise kaudu.
Ülesandes küsitakse sageli mõõtmeid, mitte funktsiooni suurimat väärtust. Loe küsimus uuesti üle.