GÜMNAASIUMTekstülesanded ja rakendused

Protsendid ja kasvamine

Kui suurus muutub igal perioodil sama protsendi võrra, korrutatakse seda igal perioodil sama arvuga. Tulemuseks on eksponentsiaalne kasvamine või kahanemine.

Tähised

qq
kasvutegur: mitu korda suurus ühe perioodiga muutub
pp
muutus protsentides ühe perioodi kohta (kahanemisel tuleb q=1−p100q = 1 - \frac{p}{100})
A0A_0
algväärtus (nt algkapital)
AnA_n
väärtus nn perioodi pärast
nn
perioodide arv (nt aastate arv)
⇒\Rightarrow
järelikult
ln⁡\ln
naturaallogaritm (logaritm alusel ee)
N(t)N(t)
suuruse väärtus ajahetkel tt
N0N_0
algväärtus (hetkel t=0t = 0)
ee
naturaallogaritmi alus, e≈2,718e \approx 2{,}718
kk
pideva kasvu kordaja (kasvamisel k>0k > 0, kahanemisel k<0k < 0)
tt
aeg

Kasvutegur

q=1+p100q = 1 + \frac{p}{100}

Kasv 5%5\% tähendab korrutamist arvuga 1,051{,}05; langus 5%5\% korrutamist arvuga 0,950{,}95.

Liitprotsendiline kasvamine

An=A0(1+p100)nA_n = A_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

Liitprotsendiline kahanemine

An=A0(1−p100)nA_n = A_0 \left(1 - \frac{p}{100}\right)^n

Perioodide arvu leidmine

qn=AnA0  ⇒  n=ln⁡AnA0ln⁡qq^n = \frac{A_n}{A_0} \;\Rightarrow\; n = \frac{\ln \frac{A_n}{A_0}}{\ln q}

Tundmatu on astendajas, seega tuleb logaritmida.

Pidev kasv

N(t)=N0⋅ektN(t) = N_0 \cdot e^{kt}

Harjutuspank

Harjuta seda teemat

30 ülesannet viiel raskusastmel, põhioskusest eksamitasemeni. Iga vastus on arvutiga kontrollitud.

Alusta harjutamist

Levinud vead

Selle teema ülesanded

  1. Ülesanne 2: Kitsas riigieksam 2017: Hoiuse intress kahe intressimääragaProtsendid ja kasvamineProtsentarvutus5 pTegemata
  2. Ülesanne 4: Kitsas riigieksam 2020: Maailma elektritarbimineProtsentarvutusProtsendid ja kasvamine5 pTegemata
  3. Ülesanne 4: Kitsas riigieksam 2021: Bakteritega kaetud ala kasvProtsendid ja kasvamineEksponentvõrrandidLogaritm ja selle omadused5 pTegemata
  4. Ülesanne 11: Kitsas riigieksam 2025: Kinnisvara väärtus ja logaritmvõrrandProtsendid ja kasvamineLogaritmvõrrandid ja -võrratused10 pTegemata
  5. Ülesanne 11: Lai riigieksam 2018: Aiatraktori hinna langusGeomeetriline jadaProtsendid ja kasvamineEksponentvõrratused10 pTegemata
  6. Ülesanne 1: Lai riigieksam 2022: Auto väärtuse kahanemineProtsendid ja kasvamineProtsentarvutus5 pTegemata