Proovi ise enne Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje 2. 1. samm 3. Kogu lahendus Vihje Vektori koordinaadid on lõpp-punkti ja alguspunkti koordinaatide vahe. Ristuvate sirgete tõusude korrutis on − 1 -1 − 1
Näita vihjet Näita kogu lahendust 1 Küsimus 1 Samm 1: Leia tipp B Esimeses küsimuses on vaja kolmnurga tippe. Vektor A B → \overrightarrow{AB} A B A A A B B B
Vektori koordinaadid on lõpp-punkti ja alguspunkti koordinaatide vahe.
A B → = ( x B − x A ; y B − y A ) \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\, y_B - y_A) A B = ( x B − x A ; y B − y A ) Seega saame punkti B B B A A A
B ( 2 + 4 ; 1 + 3 ) = B ( 6 ; 4 ) B(2 + 4;\, 1 + 3) \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\hl{B(6;\,4)}} B ( 2 + 4 ; 1 + 3 ) = B ( 6 ; 4 ) 2 Küsimus 1 Samm 2: Leia tipp C Vektor C A → \overrightarrow{CA} C A C C C A A A A A A C C C
Kirjutame vektori koordinaadid punktide kaudu.
C A → = ( x A − x C ; y A − y C ) = ( − 5 ; 1 ) \overrightarrow{CA} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{(x_A - x_C;\, y_A - y_C)} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{(-5;\,1)} C A = ( x A − x C ; y A − y C ) = ( − 5 ; 1 ) Võrdsustame koordinaadid: 2 − x C = − 5 2 - x_C = -5 2 − x C = − 5 1 − y C = 1 1 - y_C = 1 1 − y C = 1
x C = 2 + 5 = 7 , y C = 1 − 1 = 0 x_C \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{2 + 5} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{7, \qquad y_C} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{1 - 1} \mathrel{\htmlData{seg=4}{=}} \htmlData{seg=4}{0} x C = 2 + 5 = 7 , y C = 1 − 1 = 0 Kirjutame tipu koordinaadid.
C ( 7 ; 0 ) \hl{C(7;\,0)} C ( 7 ; 0 ) Miks nii? Kuna C A → = A − C \overrightarrow{CA} = A - C C A = A − C C = A − C A → C = A - \overrightarrow{CA} C = A − C A x C = 2 − ( − 5 ) = 7 x_C = 2 - (-5) = 7 x C = 2 − ( − 5 ) = 7 y C = 1 − 1 = 0 y_C = 1 - 1 = 0 y C = 1 − 1 = 0 A A A ( − 3 ; 2 ) (-3;\,2) ( − 3 ; 2 ) 3 Küsimus 1 Samm 3: Joonesta kolmnurk Kanname punktid A A A B B B C C C
A ( 2 ; 1 ) , B ( 6 ; 4 ) , C ( 7 ; 0 ) A(2;\,1), \quad B(6;\,4), \quad C(7;\,0) A ( 2 ; 1 ) , B ( 6 ; 4 ) , C ( 7 ; 0 ) 4 Küsimus 2 Samm 4: Koosta sirge BC võrrand Teises küsimuses tuleb koostada sirge võrrand kahe punkti B ( 6 ; 4 ) B(6;\,4) B ( 6 ; 4 ) C ( 7 ; 0 ) C(7;\,0) C ( 7 ; 0 )
Kirjutame kahe punkti kaudu tõusu valemi.
k = y 2 − y 1 x 2 − x 1 k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} k = x 2 − x 1 y 2 − y 1 Asendame punktid B ( 6 ; 4 ) B(6;\,4) B ( 6 ; 4 ) C ( 7 ; 0 ) C(7;\,0) C ( 7 ; 0 )
k B C = 0 − 4 7 − 6 = − 4 1 = − 4 k_{BC} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{0 - 4}{7 - 6}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{-4}{1}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\hl{-4}} k B C = 7 − 6 0 − 4 = 1 − 4 = − 4 Kirjutame punkti ja tõusuga sirge võrrandi, kasutame punkti B ( 6 ; 4 ) B(6;\,4) B ( 6 ; 4 )
y − 4 = − 4 ( x − 6 ) y - 4 = -4(x - 6) y − 4 = − 4 ( x − 6 ) Avame sulud ja viime arvu − 4 -4 − 4
y = − 4 x + 24 + 4 y = -4x + 24 + 4 y = − 4 x + 24 + 4 Arvutame.
y = − 4 x + 28 \hl{y = -4x + 28} y = − 4 x + 28 Miks nii? Kontroll punktiga C C C − 4 ⋅ 7 + 28 = − 28 + 28 = 0 -4 \cdot 7 + 28 = -28 + 28 = 0 − 4 ⋅ 7 + 28 = − 28 + 28 = 0 C ( 7 ; 0 ) C(7;\,0) C ( 7 ; 0 ) 5 Küsimus 3 Samm 5: Koosta sirge s võrrand Kolmandas küsimuses on sirge s s s B C BC B C − 1 -1 − 1 s s s B C BC B C
Kirjutame ristuvate sirgete tingimuse.
k B C ⋅ k s = − 1 k_{BC} \cdot k_s = -1 k B C ⋅ k s = − 1 Asendame k B C = − 4 k_{BC} = -4 k B C = − 4 k s k_s k s
− 4 ⋅ k s = − 1 ⇒ k s = − 1 − 4 = 1 4 -4 \cdot k_s \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-1 \;\Rightarrow\; k_s} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{-1}{-4}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\hl{\frac{1}{4}}} − 4 ⋅ k s = − 1 ⇒ k s = − 4 − 1 = 4 1 Sirge s s s A ( 2 ; 1 ) A(2;\,1) A ( 2 ; 1 )
y − 1 = 1 4 ( x − 2 ) y - 1 = \frac{1}{4}(x - 2) y − 1 = 4 1 ( x − 2 ) Avame sulud ja viime arvu − 1 -1 − 1
y = 1 4 x − 1 2 + 1 y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{2} + 1 y = 4 1 x − 2 1 + 1 Arvutame.
y = 1 4 x + 1 2 \hl{y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}} y = 4 1 x + 2 1 Miks nii? 1 4 ⋅ 2 = 1 2 \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2} 4 1 ⋅ 2 = 2 1 − 1 2 + 1 = 1 2 -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} − 2 1 + 1 = 2 1 y = 0,25 x + 0,5 y = 0{,}25x + 0{,}5 y = 0 , 25 x + 0 , 5 6 Küsimus 4 Samm 6: Kontrolli, kas s läbib külje BC keskpunkti Neljandas küsimuses leiame kõigepealt külje B C BC B C M M M s s s
Kirjutame lõigu keskpunkti valemi.
M ( x B + x C 2 ; y B + y C 2 ) M\left(\frac{x_B + x_C}{2};\, \frac{y_B + y_C}{2}\right) M ( 2 x B + x C ; 2 y B + y C ) Asendame punktid B ( 6 ; 4 ) B(6;\,4) B ( 6 ; 4 ) C ( 7 ; 0 ) C(7;\,0) C ( 7 ; 0 )
M ( 6 + 7 2 ; 4 + 0 2 ) = M ( 6,5 ; 2 ) M\left(\frac{6 + 7}{2};\, \frac{4 + 0}{2}\right) \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\hl{M(6{,}5;\,2)}} M ( 2 6 + 7 ; 2 4 + 0 ) = M ( 6 , 5 ; 2 ) Arvutame sirge s s s y y y x = 6,5 x = 6{,}5 x = 6 , 5
y = 1 4 ⋅ 6,5 + 1 2 = 1,625 + 0,5 = 2,125 y \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{1}{4} \cdot 6{,}5 + \frac{1}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{1{,}625 + 0{,}5} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{2{,}125} y = 4 1 ⋅ 6 , 5 + 2 1 = 1 , 625 + 0 , 5 = 2 , 125 Saadud väärtus ei võrdu punkti M M M 2 2 2 M M M s s s
2,125 ≠ 2 ⇒ sirge s ei l a ¨ bi punkti M 2{,}125 \ne 2 \;\Rightarrow\; \hl{\text{sirge } s \text{ ei läbi punkti } M} 2 , 125 = 2 ⇒ sirge s ei l a ¨ bi punkti M Miks nii? Teine põhjendus (hindamisjuhendist): sirge s s s A A A A B = A C AB = AC A B = A C A B = 4 2 + 3 2 = 5 AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 A B = 4 2 + 3 2 = 5 A C = ( − 5 ) 2 + 1 2 = 26 ≠ 5 AC = \sqrt{(-5)^2 + 1^2} = \sqrt{26} \ne 5 A C = ( − 5 ) 2 + 1 2 = 26 = 5 VASTUS 1) Kolmnurga tipud on A ( 2 ; 1 ) A(2;\,1) A ( 2 ; 1 ) B ( 6 ; 4 ) B(6;\,4) B ( 6 ; 4 ) C ( 7 ; 0 ) C(7;\,0) C ( 7 ; 0 ) B C BC B C y = − 4 x + 28 y = -4x + 28 y = − 4 x + 28 s s s y = 1 4 x + 1 2 y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} y = 4 1 x + 2 1 s s s B C BC B C M ( 6,5 ; 2 ) M(6{,}5;\,2) M ( 6 , 5 ; 2 ) 1 4 ⋅ 6,5 + 1 2 = 2,125 ≠ 2 \frac{1}{4} \cdot 6{,}5 + \frac{1}{2} = 2{,}125 \ne 2 4 1 ⋅ 6 , 5 + 2 1 = 2 , 125 = 2
Tipu C C C C A → \overrightarrow{CA} C A A A A C ( − 3 ; 2 ) C(-3;\,2) C ( − 3 ; 2 ) C A → \overrightarrow{CA} C A A A A A A A
C ( 2 − 5 ; 1 + 1 ) = C ( − 3 ; 2 ) C(2 - 5;\, 1 + 1) = C(-3;\,2) C ( 2 − 5 ; 1 + 1 ) = C ( − 3 ; 2 ) vektori suund
Ristuva sirge tõusuks võetakse vastandarv 4 4 4 − 1 4 -\frac{1}{4} − 4 1 k s = − 1 k B C = 1 4 k_s = -\frac{1}{k_{BC}} = \frac{1}{4} k s = − k B C 1 = 4 1
k s = − 1 4 k_s = -\frac{1}{4} k s = − 4 1 märk vale
Ülesanne 9 Ülesanne 11