Proovi ise enne Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje 2. 1. samm 3. Kogu lahendus Vihje Leia kõigepealt punktide A A A B B B C C C D D D B D BD B D x x x y y y
Näita vihjet Näita kogu lahendust 1 Küsimus 1 Samm 1: Leia haripunkt A Esimeses küsimuses tuleb joonestada mõlema funktsiooni graafikud. Alustame funktsioonist y = − x 2 − 2 y = -x^2 - 2 y = − x 2 − 2 A A A
Kirjutame välja ruutfunktsiooni y = a x 2 + b x + c y = ax^2 + bx + c y = a x 2 + b x + c b = 0 b = 0 b = 0
a = − 1 , b = 0 , c = − 2 a = -1, \quad b = 0, \quad c = -2 a = − 1 , b = 0 , c = − 2 Leiame haripunkti x x x
x h = − b 2 a = − 0 2 ⋅ ( − 1 ) = 0 x_h \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-\frac{b}{2a}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{-\frac{0}{2 \cdot (-1)}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{0} x h = − 2 a b = − 2 ⋅ ( − 1 ) 0 = 0 Haripunkti y y y x = 0 x = 0 x = 0
y h = − 0 2 − 2 = − 2 y_h \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-0^2 - 2} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{-2} y h = − 0 2 − 2 = − 2 Kirjutame haripunkti koordinaadid.
A ( 0 ; − 2 ) \hl{A(0;\,-2)} A ( 0 ; − 2 ) Miks nii? Kuna lineaarliiget ei ole (b = 0 b = 0 b = 0 y y y a = − 1 a = -1 a = − 1 2 Küsimus 1 Samm 2: Koosta esimese parabooli väärtuste tabel Joonestamiseks arvutame haripunktist mõlemale poole mõned punktid. Parabool on y y y x x x
Arvutame y y y x = 1 x = 1 x = 1
y = − 1 2 − 2 = − 1 − 2 = − 3 y \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-1^2 - 2} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{-1 - 2} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{-3} y = − 1 2 − 2 = − 1 − 2 = − 3 Arvutame y y y x = 2 x = 2 x = 2
y = − 2 2 − 2 = − 4 − 2 = − 6 y \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-2^2 - 2} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{-4 - 2} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{-6} y = − 2 2 − 2 = − 4 − 2 = − 6 Kui x = − 1 x = -1 x = − 1 x = − 2 x = -2 x = − 2 1 1 1 2 2 2 y y y
x − 2 − 1 0 1 2 y − 6 − 3 − 2 − 3 − 6 \begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -6 & -3 & -2 & -3 & -6 \end{array} x y − 2 − 6 − 1 − 3 0 − 2 1 − 3 2 − 6 3 Küsimus 1 Samm 3: Joonesta esimene parabool Ühendame tabeli punktid sujuva kõverjoonega.
y = − x 2 − 2 \hl{y = -x^2 - 2} y = − x 2 − 2 Miks nii? Sellel funktsioonil nullkohti ei ole: − x 2 − 2 -x^2 - 2 − x 2 − 2 x x x x x x 4 Küsimus 1 Samm 4: Leia teise funktsiooni nullkohad Teise funktsiooni graafik lõikab x x x B B B D D D − x 2 − 2 x + 3 = 0 -x^2 - 2x + 3 = 0 − x 2 − 2 x + 3 = 0
Korrutame võrrandi mõlemat poolt arvuga − 1 -1 − 1
− x 2 − 2 x + 3 = 0 ∣ ⋅ ( − 1 ) -x^2 - 2x + 3 = 0 \quad \big| \cdot (-1) − x 2 − 2 x + 3 = 0 ⋅ ( − 1 ) Kõigi liikmete märgid muutuvad.
x 2 + 2 x − 3 = 0 x^2 + 2x - 3 = 0 x 2 + 2 x − 3 = 0 Kirjutame välja ruutvõrrandi kordajad.
a = 1 , b = 2 , c = − 3 a = 1, \quad b = 2, \quad c = -3 a = 1 , b = 2 , c = − 3 Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi.
x 1 ; 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x_{1;2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} x 1 ; 2 = 2 a − b ± b 2 − 4 a c Asendame kordajad valemisse. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.
x 1 ; 2 = − 2 ± 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) 2 ⋅ 1 = − 2 ± 4 + 12 2 x_{1;2} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\id{ahel-13}{\frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}}} x 1 ; 2 = 2 ⋅ 1 − 2 ± 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) = 2 − 2 ± 4 + 12 Liidame juure all olevad arvud ja võtame ruutjuure.
− 2 ± 4 + 12 2 = − 2 ± 16 2 = − 2 ± 4 2 \id{ahel-13}{\frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{-2 \pm 4}{2}} 2 − 2 ± 4 + 12 = 2 − 2 ± 16 = 2 − 2 ± 4 Esimese lahendi saame miinusmärgiga.
x 1 = − 2 − 4 2 = − 6 2 = − 3 x_1 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{-2 - 4}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{-6}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\hl{-3}} x 1 = 2 − 2 − 4 = 2 − 6 = − 3 Teise lahendi saame plussmärgiga.
x 2 = − 2 + 4 2 = 2 2 = 1 x_2 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{-2 + 4}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{2}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\hl{1}} x 2 = 2 − 2 + 4 = 2 2 = 1 Punktid B B B D D D x x x y y y
B ( − 3 ; 0 ) , D ( 1 ; 0 ) \hl{B(-3;\,0)}, \qquad \hl{D(1;\,0)} B ( − 3 ; 0 ) , D ( 1 ; 0 ) Miks nii? Miinus ühega korrutamine ei muuda lahendeid, aga lahendivalemis on positiivse ruutliikme kordajaga vähem märgivigu. Juure all on − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) = + 12 -4 \cdot 1 \cdot (-3) = +12 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) = + 12 5 Küsimus 1 Samm 5: Leia haripunkt C Parabool on sümmeetriline, seega asub haripunkt nullkohtade keskel.
Haripunkti x x x
x h = x 1 + x 2 2 = − 3 + 1 2 = − 2 2 = − 1 x_h \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{x_1 + x_2}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{-3 + 1}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\frac{-2}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=4}{=}} \htmlData{seg=4}{-1} x h = 2 x 1 + x 2 = 2 − 3 + 1 = 2 − 2 = − 1 Haripunkti y y y x = − 1 x = -1 x = − 1
y h = − ( − 1 ) 2 − 2 ⋅ ( − 1 ) + 3 = − 1 + 2 + 3 = 4 y_h \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 3} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{-1 + 2 + 3} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{4} y h = − ( − 1 ) 2 − 2 ⋅ ( − 1 ) + 3 = − 1 + 2 + 3 = 4 Kirjutame haripunkti koordinaadid.
C ( − 1 ; 4 ) \hl{C(-1;\,4)} C ( − 1 ; 4 ) Miks nii? Sama tulemuse annab valem x h = − b 2 a = − − 2 2 ⋅ ( − 1 ) = − 1 x_h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1 x h = − 2 a b = − 2 ⋅ ( − 1 ) − 2 = − 1 − ( − 1 ) 2 = − 1 -(-1)^2 = -1 − ( − 1 ) 2 = − 1 6 Küsimus 1 Samm 6: Koosta teise parabooli väärtuste tabel Teine parabool on sirge x = − 1 x = -1 x = − 1 B B B C C C D D D
Arvutame y y y x = 0 x = 0 x = 0
y = − 0 2 − 2 ⋅ 0 + 3 = 3 y \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-0^2 - 2 \cdot 0 + 3} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{3} y = − 0 2 − 2 ⋅ 0 + 3 = 3 Arvutame y y y x = − 2 x = -2 x = − 2
y = − ( − 2 ) 2 − 2 ⋅ ( − 2 ) + 3 = − 4 + 4 + 3 = 3 y \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-(-2)^2 - 2 \cdot (-2) + 3} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{-4 + 4 + 3} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{3} y = − ( − 2 ) 2 − 2 ⋅ ( − 2 ) + 3 = − 4 + 4 + 3 = 3 Arvutame y y y x = 2 x = 2 x = 2
y = − 2 2 − 2 ⋅ 2 + 3 = − 4 − 4 + 3 = − 5 y \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-2^2 - 2 \cdot 2 + 3} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{-4 - 4 + 3} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{-5} y = − 2 2 − 2 ⋅ 2 + 3 = − 4 − 4 + 3 = − 5 Arvutame y y y x = − 4 x = -4 x = − 4
y = − ( − 4 ) 2 − 2 ⋅ ( − 4 ) + 3 = − 16 + 8 + 3 = − 5 y \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-(-4)^2 - 2 \cdot (-4) + 3} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{-16 + 8 + 3} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{-5} y = − ( − 4 ) 2 − 2 ⋅ ( − 4 ) + 3 = − 16 + 8 + 3 = − 5 Kanname kõik punktid väärtuste tabelisse.
x − 4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 y − 5 0 3 4 3 0 − 5 \begin{array}{c|ccccccc} x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -5 & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 & -5 \end{array} x y − 4 − 5 − 3 0 − 2 3 − 1 4 0 3 1 0 2 − 5 Miks nii? Tabelis on näha sümmeetria: punktid ( − 2 ; 3 ) (-2;\,3) ( − 2 ; 3 ) ( 0 ; 3 ) (0;\,3) ( 0 ; 3 ) ( − 4 ; − 5 ) (-4;\,-5) ( − 4 ; − 5 ) ( 2 ; − 5 ) (2;\,-5) ( 2 ; − 5 ) x = − 1 x = -1 x = − 1 7 Küsimus 1 Samm 7: Joonesta teine parabool Ühendame tabeli punktid sujuva kõverjoonega.
y = − x 2 − 2 x + 3 \hl{y = -x^2 - 2x + 3} y = − x 2 − 2 x + 3 Miks nii? Mõlemas funktsioonis on x 2 x^2 x 2 − 1 -1 − 1 8 Küsimus 2 Samm 8: Joonesta nelinurk ABCD Teises küsimuses tuleb joonestada nelinurk A B C D ABCD A B C D A ( 0 ; − 2 ) A(0;\,-2) A ( 0 ; − 2 ) B ( − 3 ; 0 ) B(-3;\,0) B ( − 3 ; 0 ) C ( − 1 ; 4 ) C(-1;\,4) C ( − 1 ; 4 ) D ( 1 ; 0 ) D(1;\,0) D ( 1 ; 0 )
9 Küsimus 2 Samm 9: Jaota nelinurk kaheks kolmnurgaks Diagonaal B D BD B D x x x B C D BCD B C D B D A BDA B D A B D BD B D
Leiame aluse B D BD B D x x x x x x
B D = 1 − ( − 3 ) = 1 + 3 = 4 BD \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{1 - (-3)} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{1 + 3} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\hl{4}} B D = 1 − ( − 3 ) = 1 + 3 = 4 Kolmnurga B C D BCD B C D C ( − 1 ; 4 ) C(-1;\,4) C ( − 1 ; 4 ) x x x
Kolmnurga B D A BDA B D A A ( 0 ; − 2 ) A(0;\,-2) A ( 0 ; − 2 ) x x x
h A = ∣ − 2 ∣ = 2 h_A \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{|-2|} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{2} h A = ∣ − 2∣ = 2 Miks nii? Punkti kaugus x x x y y y 10 Küsimus 2 Samm 10: Arvuta nelinurga pindala Kirjutame kolmnurga pindala valemi.
S = a ⋅ h 2 S = \frac{a \cdot h}{2} S = 2 a ⋅ h Arvutame kolmnurga B C D BCD B C D 4 4 4 4 4 4
S 1 = 4 ⋅ 4 2 = 16 2 = 8 S_1 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{4 \cdot 4}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{16}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{8} S 1 = 2 4 ⋅ 4 = 2 16 = 8 Arvutame kolmnurga B D A BDA B D A 4 4 4 2 2 2
S 2 = 4 ⋅ 2 2 = 8 2 = 4 S_2 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{4 \cdot 2}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{8}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{4} S 2 = 2 4 ⋅ 2 = 2 8 = 4 Nelinurga pindala on kahe kolmnurga pindalade summa.
S A B C D = S 1 + S 2 = 8 + 4 = 12 (ruut u ¨ hikut) S_{ABCD} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{S_1 + S_2} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{8 + 4} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\hl{12} \text{ (ruutühikut)}} S A B C D = S 1 + S 2 = 8 + 4 = 12 (ruut u ¨ hikut) VASTUS 1) Graafikud on joonisel: parabooli y = − x 2 − 2 y = -x^2 - 2 y = − x 2 − 2 A ( 0 ; − 2 ) A(0;\,-2) A ( 0 ; − 2 ) y = − x 2 − 2 x + 3 y = -x^2 - 2x + 3 y = − x 2 − 2 x + 3 C ( − 1 ; 4 ) C(-1;\,4) C ( − 1 ; 4 ) B ( − 3 ; 0 ) B(-3;\,0) B ( − 3 ; 0 ) D ( 1 ; 0 ) D(1;\,0) D ( 1 ; 0 ) A B C D ABCD A B C D 12 12 12
Haripunkti y y y − ( − 1 ) 2 -(-1)^2 − ( − 1 ) 2 1 1 1 − ( − 1 ) 2 = − 1 -(-1)^2 = -1 − ( − 1 ) 2 = − 1
y h = 1 + 2 + 3 = 6 y_h = 1 + 2 + 3 = 6 y h = 1 + 2 + 3 = 6 märgiviga
Alumise kolmnurga kõrguseks võetakse − 2 -2 − 2
S = 8 − 4 = 4 S = 8 - 4 = 4 S = 8 − 4 = 4 negatiivne kõrgus
Ülesanne 5 Ülesanne 7